Старый авто, как сдать на металлолом

самое простое это вам своими силами разобрать автомобиль на запчасти и стать как бытовой лом.
снимать с учета - если нет возможности не нужно

чуть сложнее - вам нужно утилизировать автомобиль в специальном аттестованным центре , взять об этом соответствующее подтверждение (справку об утилизации), затем со всеми документами на автомобиль и свидетельством о смерти дедушки обратиться в ГИБДД. Они должны будут направить в налоговые органы сведения об утилизации автомобиля, что не приходили к Вам налоговые уведомления

Если не снимете авто с учёта, вам будут приходить налоги. Надо снимать. Правильные подробности лучше узнать у гаишников.

Да, нужно написать заявление об утилизации.
Но прежде нужно оформить свидетельство о праве на наследство.
В случае выявления после выдачи свидетельства о праве на наследство наследственного имущества, на которое такое свидетельство не было выдано, выдается дополнительное свидетельство о праве на наследство.