Подписывать ли новый договор?

Это надуманный предлог, чтобы, видимо, изменить условия договора. Сходство подписей не имеет ровно никакого значения, если договор подписан именно вами и вы не отказываетесь от него. Поэтому права банка не нарушены. Я бы не стала советовать вам переподписывать договор - неизвестно, какую "бяку" банк может вам подсунуть, тем более не имея перед глазами старого договора.