Может ли гражданин РФ переписать квартиру на гражданина Грузии?

Нет,"перепесать" не может. И переписать тоже.Но она может передать Вам квартиру по договору дарения или договору купли-продажи.
Наличие недвижимости в собственности ускорит получение Вами гражданства РФ

Тамара, здравствуйте!
Ваша крестная может оформить на вас дарение квартиры или доли в квартире. Лучше договор дарения заверить нотариально.
Получение гражданства РФ наличие в собственности квартиры в российской Федерации это не ускорит, т.к. нет такого основания в ст. 14 Федерального закона от 31.05.2002 г. № 62-ФЗ "О гражданстве Российской Федерации". Но с наличием квартиры в собственности или доли квартиры в собственности на территории Российской Федерации облегчит вам постановку на миграционный учет, получение РВП (разрешения на временное проживание), а, впоследствии, ВНЖ (вида на жительство).

Тамара, здравствуйте!
Ваша крестная может оформить на вас дарение квартиры или доли в квартире. Лучше договор дарения заверить нотариально.
Получение гражданства РФ наличие в собственности квартиры в российской Федерации это не ускорит, т.к. нет такого основания в ст. 14 Федерального закона от 31.05.2002 г. № 62-ФЗ "О гражданстве Российской Федерации". Но с наличием квартиры в собственности или доли квартиры в собственности на территории Российской Федерации облегчит вам постановку на миграционный учет, получение РВП (разрешения на временное проживание), а, впоследствии, ВНЖ (вида на жительство).